ニュートン・ラフソン法とは名ばかりの易問！令和３年度電力・管理問３

ニュートン・ラフソン法を使うのかと思いきや、問題をよく読むとオームの法則と電流の保存則を使うだけのかなりの易問。

問題文は試験の問題と解答 | ECEE 一般財団法人電気技術者試験センターより引用。

私の解答

(1) 母線１についての電流の保存則から $\displaystyle \dot{I_1} = \frac{\dot{V_1} - \dot{V_2}}{jX_{12}} + \frac{\dot{V_1} - \dot{V_3}}{jX_{13}}$
$\displaystyle = -j\dot{V_1}(\frac{1}{X_{12}} + \frac{1}{X_{13}}) + j\dot{V_2}\frac{1}{X_{12}}+ j\dot{V_3}\frac{1}{X_{13}}$
回路の対称性より、この等式は添え字の1,2,3を自由に入れ替えても成り立つ。
したがってノードアドミタンス行列は、
$\displaystyle [\dot{Y_{kl}} ]= \begin{pmatrix} -j(\frac{1}{X_{12}}+\frac{1}{X_{13}}) & j\frac{1}{X_{12}} & j\frac{1}{X_{13}} \\ j\frac{1}{X_{12}}&-j(\frac{1}{X_{12}}+\frac{1}{X_{23}})&j\frac{1}{X_{23}} \\ j\frac{1}{X_{13}}&j\frac{1}{X_{23}}&-j(\frac{1}{X_{13}}+\frac{1}{X_{23}}) \end{pmatrix}$

(2) 母線1からに2流れる電流を $\displaystyle \dot{I_{12}}$ とおくと、
この部分のπ等価回路において母線1の側の分岐点における電流の保存則を考え、
$\displaystyle \dot{I_{12}} = \frac{\dot{V_1} - \dot{V_2}}{j0.1} + j\dot{V_1} = -j9\dot{V_1} + j10\dot{V_2}$
同様に
$\displaystyle \dot{I_{13}} = -j9\dot{V_1} + j10\dot{V_3}$ より
$\displaystyle \dot{I_{1}} = -j18\dot{V_1} + j10\dot{V_2} + j10\dot{V_3}$
直列リアクタンスおよびキャパシタンスは添え字1,2,3に関して対称であるから、
ノードアドミタンス行列は
$\displaystyle [\dot{Y_{kl}} ]= \begin{pmatrix} -j18 & j10 & j10 \\ j10 & -j18 & j10 \\ j10 & j10 & -j18 \end{pmatrix}$

(3) 電力およびノードアドミタンス行列の定義から
$\displaystyle P_k + jQ_k = \dot{V_k}\overline{\dot{I_k}} = \dot{V_k} \sum_{l = 1}^3 \overline{\dot{V_l}(G_{kl} + jB_{kl})}$
$\displaystyle = \sum_{l = 1}^3 |\dot{V_k}| |\dot{V_l}| \{ \cos (\theta_k - \theta_l) + j\sin(\theta_k - \theta_l) \} (G_{kl} - jB_{kl})$
したがって
$\displaystyle P_k = \sum_{l = 1}^3 |\dot{V_k}| |\dot{V_l}| \{ G_{kl}\cos (\theta_k - \theta_l) + B_{kl}\sin(\theta_k - \theta_l) \}$
$\displaystyle Q_k = \sum_{l = 1}^3 |\dot{V_k}| |\dot{V_l}| \{ G_{kl}\sin(\theta_k - \theta_l) - B_{kl}\cos(\theta_k - \theta_l) \}$

(4) (3)の式に(2)のノードアドミタンス行列から得られる $\displaystyle B_{kl}$ および問題文で与えられた値を代入して
$\displaystyle 0.7 = 10.5\{ \sin\theta_2 + |\dot{V_3}| \sin(\theta_2 - \theta_3) \}$