電線のたるみメモ２ - 電験一種が難しいはずがない！

前回理想的な紐をたらすと $\displaystyle y = \frac{1}{k}(\cosh kx - 1)$ の曲線をなすことを導出した。
今回はその曲線の性質と曲線を放物線で近似することを考える。

紐の長さ

$\displaystyle \int_0^x \sqrt{1 + y'^2}\,dx = \int_0^x \sqrt{1 + \sinh^2kx}\,dx = \int_0^x \cosh kx\,dx = \frac{1}{k}\sinh kx$ である。

張力

紐の重さは $\displaystyle \frac{\rho g}{k}\sinh kx$ なので、張力の鉛直成分は $\displaystyle \frac{\rho g}{k}\sinh kx$
よって張力の水平成分は $\displaystyle T = \frac{\rho g \sinh kx}{ky'} = \frac{\rho g \sinh kx}{k\sinh kx} = \frac{\rho g}{k}$
これは前回の微分方程式で $\displaystyle k = \frac{\rho g}{T}$ と置いたことを思い出すとそれに一致していることがわかる。

放物線による近似

テイラー展開 $\displaystyle e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3!} + \dots$ の二次までの項をとることで、
$\displaystyle \cosh kx \fallingdotseq 1 + \frac{k^2x^2}{2},\, \sinh kx \fallingdotseq kx$ を得る。

したがって紐の曲線は $\displaystyle y = \frac{kx^2}{2}$ とかけることがわかる。