マクスウェル方程式の積分形とガウスの発散定理・ストークスの定理

前回微分形のマクスウェル方程式を学んだ。
今回はガウスの発散定理およびストークスの定理を既知として積分形のマクスウェル方程式を導出する。

ガウスの発散定理

$\displaystyle \int_S \mathbf{A}\cdot\mathbf{n}\,dS = \int_V \nabla \cdot \mathbf{A} \,dV$
ベクトル場の面積分は任意に分割できるので、微小な立方体の面積分の足し合わせにできる。
微小な立方体の面積分は発散になっているので、全体として発散を積分したものになる。
$\displaystyle \int_S \mathbf{A}\cdot\mathbf{n}\,dS$ は $\displaystyle \int_S \mathbf{A}\cdot\,d\mathbf{S}$ とも書く。

ストークスの定理

$\displaystyle \oint_C \mathbf{A}\cdot\,d\mathbf{r} = \int_S (\nabla\times\mathbf{A})\cdot\mathbf{n} \,dS$
ベクトル場の周回積分は同じく任意に分割できるので、微小な正方形の周回積分の足し合わせにできる。
微小な正方形の周回積分は回転（に法線ベクトルの内積をとったもの）になっているので、全体としては回転と法線ベクトルの内積の積分になる。

ガウスの法則の積分形

$\displaystyle \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}$
の両辺を領域 $\displaystyle V$ について積分して
$\displaystyle \int_V \nabla \cdot \mathbf{E}\,dV = \int_V \frac{\rho}{\epsilon_0} \,dV$
発散定理より左辺は
$\displaystyle \int_V \nabla \cdot \mathbf{E}\,dV = \int_S \mathbf{E}\cdot\,d\mathbf{S}$
右辺は領域 $\displaystyle V$ の電荷を $\displaystyle Q$ とおけば $\displaystyle \int_V \frac{\rho}{\epsilon_0} \,dV = \frac{Q}{\epsilon_0}$
よって
$\displaystyle \int_S \mathbf{E}\cdot\,d\mathbf{S} = \frac{Q}{\epsilon_0}$
磁場に関しても同様に
$\displaystyle \int_S \mathbf{B}\cdot\,d\mathbf{S} = 0$
これがガウスの法則の積分形である。

ファラデーの法則およびアンペール・マクスウェルの法則の積分形

$\displaystyle \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{j} + \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$
の両辺を曲面 $\displaystyle S$ について積分して
$\displaystyle \int_S (\nabla \times \mathbf{B})\cdot \,d\mathbf{S} = \mu_0\int_S \mathbf{j}\cdot \,d\mathbf{S} + \mu_0\epsilon_0 \int_S \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\cdot \,d\mathbf{S}$
左辺はストークスの定理から
$\displaystyle \int_S (\nabla \times \mathbf{B})\cdot \,d\mathbf{S} = \oint_C \mathbf{B}\cdot \,d\mathbf{r}$ である。
したがって
$\displaystyle \oint_C \mathbf{B}\cdot \,d\mathbf{r} = \mu_0\int_S \mathbf{j}\cdot \,d\mathbf{S} + \mu_0\epsilon_0 \int_S \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\cdot \,d\mathbf{S}$
を得る。これがアンペール・マクスウェルの法則の積分形である。同様にして
$\displaystyle \oint_C \mathbf{E}\cdot \,d\mathbf{r} = -\int_S \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\cdot \,d\mathbf{S}$
がファラデーの法則の積分形である。