電線のたるみメモ - 電験一種が難しいはずがない！

有名な話であるが、太さと剛性が無視できる紐を垂らすと懸垂線とよばれる曲線をなす。

このような曲線を $\displaystyle y(x)$ とする。
$\displaystyle y(0)=0,\,y'(0)=0$ と座標をとるものとする。
ひもの区間 $\displaystyle \{(x, y)|0\le x\le x_1\}$ にかかる力のつり合いを考える。

右端における張力の水平方向成分は $\displaystyle x_1$ の値によらず $\displaystyle T$ である。（そうでないとひもが静止してないことになる）
右端における張力の鉛直方向成分は $\displaystyle \rho g \int_0^{x_1} \sqrt{1 + y'^2} \,dx$ である。（ $\displaystyle \rho, g$ はそれぞれ線密度、重力加速度。）

で、この紐の任意の場所において張力は紐の接線方向に等しいので、
$\displaystyle Ty' = \rho g \int_0^{x_1} \sqrt{1 + y'^2} \,dx$ が成り立つ。
両辺をxで微分し $\displaystyle y' = t,\, \frac{\rho g}{T} = k$ と置けば、変数分離形の微分方程式
$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} \frac{dt}{dx} = k$
を得る。

ここで、
$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} \,dt = \int \frac{\cos\theta \, d\theta}{\cos^2 \theta} = \frac{1}{2}\int \frac{1}{1+\sin\theta} + \frac{1}{1-\sin\theta}(\sin\theta)'\,d\theta$
$\displaystyle = \frac{1}{2}\log\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}+C$
であるから（ただし、 $\displaystyle t = \tan\theta$ と置換）
$\displaystyle \frac{1}{2}\log\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}+C = 2kx$
初期条件から $\displaystyle C=0$ であり、
$\displaystyle \frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta} = e^{2kx}$ から
$\displaystyle \sin\theta = \frac{e^{2kx}-1}{e^{2kx}+1}$ である。
したがって、
$\displaystyle \frac{1}{\tan^2\theta} = \biggl(\frac{e^{2kx}-1}{e^{2kx}+1} \biggr)^2 -1=\frac{4e^{2kx}}{(e^{2kx}-1)^2}$ から
$\displaystyle \tan\theta = y' = \frac{e^{2kx}-1}{2e^{kx}} = \frac{e^{kx}-e^{-kx}}{2}=\sinh kx$ である。

ゆえに
$\displaystyle y = \frac{1}{k}\cosh kx + C'$ で、初期条件から $\displaystyle y = \frac{1}{k}(\cosh kx - 1)$ である。