ラプラス変換メモ２　畳み込み・初期値定理・最終値定理など

つづき

指数関数

普通に積分。
$\displaystyle \mathcal{L} [ e^{-at} ] = \int_{0}^{\infty} e^{-(s + a)t} \, dt = -\frac{1}{s + a} \biggl[ e^{-(s + a)t} \biggr]_0^{\infty} = \frac{1}{s + a}$
sの実部はaより大きいことが要請される。

三角関数

オイラーの公式を使って形式的に積分して実部虚部同士を比較する。正則だから多分おｋ
$\displaystyle \mathcal{L} [ e^{-i\omega t} ] = \frac{1}{s + i\omega}$ より
$\displaystyle \mathcal{L} [ \cos{\omega t} - i\sin{\omega t} ] = \frac{1}{s + i\omega} = \frac{s - i\omega}{s^2 + \omega^2}$
したがって
$\displaystyle \mathcal{L} [ \cos{\omega t} ] = \frac{s}{s^2 + \omega^2} ,\,\, \mathcal{L} [ \sin{\omega t} ] = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2}$

減衰振動

おなじ。
$\displaystyle \mathcal{L} [ e^{-at}e^{-i\omega t} ] = \int_{0}^{\infty} e^{-(s + a + i\omega)t} \, dt = \frac{1}{s + a + i\omega}$ より
$\displaystyle \mathcal{L} [ e^{-at}\cos{\omega t} - ie^{-at}\sin{\omega t} ] = \frac{s + a - i\omega}{(s + a)^2 + \omega^2}$
したがって
$\displaystyle \mathcal{L} [ e^{-at}\cos{\omega t} ] = \frac{s + a}{(s + a)^2 + \omega^2} ,\,\, \mathcal{L} [ e^{-at}\sin{\omega t} ] = \frac{\omega}{(s + a)^2 + \omega^2}$
s+aの実部は正であることが要請されるはず。

畳み込み

フーリエ変換と同じで畳み込みは積になる。
$\displaystyle f*g(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(t - \tau) \, d\tau$ だが、
ここで取り扱う関数は $\displaystyle t < 0$ で $\displaystyle f(t) = 0,\, g(t) = 0$ なので
$\displaystyle f*g(t) = \int_0^t f(\tau)g(t - \tau) \, d\tau$ と書ける。
$\displaystyle \mathcal{L} [ f*g(t) ] = \int_0^{\infty}\int_0^t f(\tau)g(t - \tau) \, d\tau \, e^{-st} \, dt$
フビニの定理により積分順序は交換できる。
積分領域は $\displaystyle \{(t,\, \tau) \,|\, t \ge 0, \, \tau \le t\}$ であるから、
$\displaystyle \mathcal{L} [ f*g(t) ] = \int_0^{\infty}\int_{\tau}^{\infty} f(\tau)g(t - \tau) e^{-st} \, dt \, d\tau$
$\displaystyle t - \tau = u$ とおけば
$\displaystyle \mathcal{L} [ f*g(t) ] = \int_0^{\infty}\int_0^{\infty} f(\tau)g(u) e^{-su} e^{-s\tau} \, du \, d\tau$
$\displaystyle = \int_0^{\infty} f(\tau) e^{-s\tau} \, d\tau \, \int_0^{\infty} g(u) e^{-su} \, du = \mathcal{L} [ f(t) ] \mathcal{L} [ g(t) ] = F(s)G(s)$

初期値定理

広義積分と極限の入れ替えがどういうときに出来るのかよくわからんので非常に怪しい。
一様収束では足りないような気がする。まあ工学系の人は誰も気にしないのでおｋ
$\displaystyle \lim_{s\to\infty} \mathcal{L} [f'(t)]$ が存在するなら、
$\displaystyle \lim_{s\to\infty} \mathcal{L} [f'(t)] = \lim_{s\to\infty} sF(s) - f(0)$ であるが
$\displaystyle \lim_{s\to\infty} \mathcal{L} [f'(t)] = \lim_{s\to\infty} \int_0^{\infty} f'(t)e^{-st}\,dt = \int_0^{\infty} \lim_{s\to\infty} f'(t)e^{-st}\,dt = 0$
したがって $\displaystyle \lim_{s\to\infty} sF(s) = f(0)$

最終値定理

$\displaystyle \lim_{s\to 0} \mathcal{L} [f'(t)]$ が存在するなら、
$\displaystyle \lim_{s\to 0} \mathcal{L} [f'(t)] = \lim_{s\to 0} sF(s) - f(0)$ で
$\displaystyle \lim_{s\to 0} \mathcal{L} [f'(t)] = \lim_{s\to 0} \int_0^{\infty} f'(t)e^{-st}\,dt = \int_0^{\infty} \lim_{s\to 0} f'(t)e^{-st}\,dt$
この極限と積分の交換が何故かはわからないが成り立つので
$\displaystyle \lim_{s\to 0} \mathcal{L} [f'(t)] = \int_0^{\infty} f'(t)\,dt = \lim_{t \to \infty}f(t) - f(0)$
したがって $\displaystyle \lim_{t \to \infty}f(t) = \lim_{s\to 0} sF(s)$