5ch電験一種スレで出題されていた問題 - 電験一種が難しいはずがない！

電験三種の問題らしい。いずれにせよ定義にしたがって実効電圧を求めるだけ。

解答

$\displaystyle \dot{e_1}$ に対するLのインピーダンスは $\displaystyle j0.003\omega$ 、 $\displaystyle \dot{e_2}$ に対するLのインピーダンスは $\displaystyle j0.009\omega$
Lの電圧降下における $\displaystyle \dot{e_1}$ の寄与は $\displaystyle \frac{j0.003\omega}{8 + j0.003\omega}\dot{e_1}$
したがってこの瞬時値は $\displaystyle A\sin\alpha$ と書ける。
同様にLの電圧降下における $\displaystyle \dot{e_2}$ の寄与の瞬時値は $\displaystyle B\sin\beta$ と書ける。
したがって実効電圧は $\displaystyle V_{rms}^2 = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} (A\sin\alpha + B\sin\beta)^2 dt$
$\displaystyle = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} (A^2\sin^2\alpha + B^2\sin^2\beta + 2AB\sin\alpha\sin\beta) dt$
$\displaystyle = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \biggl[ A^2\frac{1 - \cos{2\alpha}}{2} + B^2\frac{1 - \cos{2\beta}}{2} + AB \{ \cos{(\alpha - \beta)} - \cos{(\alpha + \beta)} \} \biggr] dt$
ここで $\displaystyle \cos{2\alpha}, \cos{2\beta}, \cos{(\alpha - \beta)}, \cos{(\alpha + \beta)}$ は $\displaystyle 2\alpha, 2\beta, \alpha - \beta, \alpha + \beta$ がtの一次関数であり、かつそれぞれTを周期に持つから、いずれも一周期積分するとゼロになり
$\displaystyle V_{rms} = \sqrt{\frac{A^2 + B^2}{2}}$ を得る。

ここで $\displaystyle A^2 = \sqrt{2}\frac{j0.003\omega}{8 + j0.003\omega}\dot{e_1} \cdot \overline{\sqrt{2}\frac{j0.003\omega}{8 + j0.003\omega}\dot{e_1}} = 20000\frac{(0.003\omega)^2}{64 +(0.003\omega)^2}$ であり、
$\displaystyle \omega = 2\pi f$ を代入し $\displaystyle A^2 = 0.013689137848961 \cdot 20000$
同様に $\displaystyle B^2 = \sqrt{2}\frac{j0.009\omega}{8 + j0.009\omega}\dot{e_2} \cdot \overline{\sqrt{2}\frac{j0.009\omega}{8 + j0.009\omega}\dot{e_2}} = 20000\frac{(0.009\omega)^2}{64 +(0.009\omega)^2}$ から
$\displaystyle B^2 = 0.111041717606271 \cdot 20000$