ラプラス変換メモ１　定義・線形性・微分・積分など

制御で使うラプラス変換についてのメモ。
広義積分だし本来は複素積分だけど、電験に出てくる関数の場合その辺はあんまり気にしないでsを正の実数、 $\displaystyle f(t)$ を有界でリーマン可積分な関数とみて計算して大丈夫っぽい。

導出は簡単だけどいちいちやってると時間足りなくなるので覚える。

ラプラス変換

$\displaystyle \mathcal{L} [ f(t) ] = F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} \, dt$ を $\displaystyle f(t)$ のラプラス変換という。

線形性

積分なので当たり前。
$\displaystyle \mathcal{L} [ af(t) + bg(t) ] = aF(s) + bG(t)$

相似性

$\displaystyle at = u$ と置換積分すればいい。
$\displaystyle \mathcal{L} [ f(at) ] = \int_{0}^{\infty} f(at) e^{-st} \, dt = \frac{1}{a} \int_{0}^{\infty} f(u) e^{-\frac{s}{a}u} \, du = \frac{1}{a} F\biggl(\frac{s}{a}\biggr)$

一階微分

部分積分すればいい。
$\displaystyle \mathcal{L} [ f'(t) ] = \int_{0}^{\infty} f'(t) e^{-st} \, dt = \biggl[ f(t)e^{-st} \biggr]_0^{\infty} + s\int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} \, dt$
$\displaystyle = sF(s) - f(0)$

二階微分

$\displaystyle f'(t) = g(t)$ とでもおけばよい。
$\displaystyle \mathcal{L} [ f''(t) ] = \mathcal{L} [ g'(t) ] = sG(s) - g(0)$
$\displaystyle = s\{sF(s) - f(0)\} - f'(0) = s^2F(s) - sf(0) - f'(0)$
となる。当たり前すぎるので別に覚える必要もない。三階以上も同様なので略。

一階積分

$\displaystyle e^{-st}$ 側を部分積分。
$\displaystyle \mathcal{L} \biggl[ \int_0^{t}f(\tau)\,d\tau \biggr] = \int_0^{\infty} \int_0^{\tau}f(\tau)\,d\tau \, e^{-st} \, dt$
$\displaystyle = -\frac{1}{s}\biggl[\int_0^{t}f(\tau)\,d\tau\,e^{-st}\biggr]_0^{\infty} + \frac{1}{s}\int_0^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt = \frac{1}{s}F(s)$
二階以上も同様なので略。

単位ステップ関数

$\displaystyle u(t) = \begin{cases} 1 & (t \ge 0) \\ 0 & (t < 0) \end{cases}$
普通に積分。
$\displaystyle \mathcal{L} [ u(t) ] = \int_{0}^{\infty} u(t) e^{-st} \, dt = \int_{0}^{\infty} e^{-st} \, dt = -\frac{1}{s}\biggl[e^{-st}\biggr]_0^{\infty} = \frac{1}{s}$