電磁波 - 電験一種が難しいはずがない！

前回・前々回とマクスウェル方程式を学んだ。
今回は電磁波の微分方程式を導出する。

電流および電荷の存在しない真空中を考えると
$\displaystyle \nabla\cdot\mathbf{E} = 0$
$\displaystyle \nabla\cdot\mathbf{B} = 0$
$\displaystyle \nabla\times\mathbf{E} + \frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}= 0$
$\displaystyle \nabla\times\mathbf{B} - \mu_0\epsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}= 0$

3式の回転を考えて
$\displaystyle \nabla\times(\nabla\times\mathbf{E}) + \nabla\times\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} = 0$
$\displaystyle \nabla\times(\nabla\times\mathbf{E}) + \frac{\partial}{\partial t}\nabla\times\mathbf{B} = 0$
ここで第一項はベクトル解析の公式と1式から
$\displaystyle \nabla\times(\nabla\times\mathbf{E}) = \nabla(\nabla\cdot\mathbf{E}) - \nabla^2\mathbf{E} = - \nabla^2\mathbf{E}$
第二項は4式から
$\displaystyle \frac{\partial}{\partial t}\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}$
であるため
$\displaystyle \nabla^2\mathbf{E} = \mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}$
を得る。
これは速度 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}$ で伝播する波動の方程式に他ならない。