はじめて電験の問題解くぞ！令和２年度電験一種二次電力・管理問２

前回の記事で

複素電圧・電流・電力・インピーダンス
単位法

についてまとめた。なので多分その知識を使って令和２年度電験一種二次電力・管理の問２が解けるはず。
という訳で解いてみた。

問題文は試験の問題と解答 | ECEE 一般財団法人電気技術者試験センターより引用した。

私の解答

(1)送電線での電圧降下を考え $\displaystyle \dot{V_2} + \dot{I}(r + jx) = \dot{V_1}$
$\displaystyle r\dot{I} \parallel \dot{I}$ また $\displaystyle jx\dot{I} \perp \dot{I}$ に注意して図示すると次のようになる。

図がいい加減すぎてV, Iの上にドットが書けませんでした。心の目で補って下さい。

(2)複素電力の定義から $\displaystyle \dot{V_1} \overline{\dot{I}} = P + jQ$
$\displaystyle \Leftrightarrow \dot{I} = \overline{\frac{P + jQ}{\dot{V_1}}} = \frac{P - jQ}{\overline{\dot{V_1}}}$

(3) (1)に(2)の結果を代入して
$\displaystyle \dot{V_2} + (r + jx)\frac{P - jQ}{\overline{\dot{V_1}}} = \dot{V_1}$
$\displaystyle \Leftrightarrow \overline{\dot{V_1}} \dot{V_2} + (P - jQ)(r + jx) = \dot{V_1} \overline{\dot{V_1}}$
$\displaystyle \Leftrightarrow V_1 V_2 (\cos{\delta} - j\sin{\delta}) + Pr + Qx + j(Px - Qr) = V_1^2$
したがって
$\displaystyle V_1 V_2 \cos{\delta} + Pr + Qx = V_1^2 \tag{1}$
$\displaystyle Px - Qr - V_1 V_2 \sin{\delta} = 0 \tag{2}$
①Q + ②Pより
$\displaystyle QV_1 V_2 \cos{\delta} + P^2x + Q^2x - PV_1 V_2 \sin{\delta} = QV_1^2$
$\displaystyle \Leftrightarrow x = \frac{QV_1^2 + V_1 V_2 (P\sin{\delta} - Q\cos{\delta})}{P^2+ Q^2}$
①P + ②Qより
$\displaystyle PV_1 V_2 \cos{\delta} + P^2r + Q^2r + QV_1 V_2 \sin{\delta} = PV_1^2$
$\displaystyle \Leftrightarrow r = \frac{PV_1^2 - V_1 V_2 (P\cos{\delta} + Q\sin{\delta})}{P^2+ Q^2}$

(4)
①より $\displaystyle \cos{\delta} = \frac{V_1^2 - Pr - Qx}{V_1 V_2}$
$\displaystyle = \frac{1.08^2 - 1.2 \cdot 0.0414 - 0.245 \cdot 0.215}{1.08 \cdot 1.02} = 0.966$
②より $\displaystyle \sin{\delta} = \frac{Px - Qr}{V_1 V_2}$
$\displaystyle = \frac{1.2 \cdot 0.245 - 0.0414 \cdot 0.215}{1.08 \cdot 1.02} = 0.259$